Công thức xác suất đầy đủ và Công thức Bayes

Công thức xác suất đầy đủ

Hệ đầy đủ các biến cố

Các biến cố $B_1, B_2, \dots, B_n$ được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếu chúng đôi một xung khắc với nhau ($B_i B_j = \varnothing$ nếu $i \ne j$) và hợp của chúng là biến cố chắc chắn:

$$\Omega = B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n$$

Ta có công thức sau đây, được gọi là công thức xác suất đầy đủ. Công thức này có rất nhiều ứng dụng khi giải toán.

Định lý

Định lý: Nếu $B_1, B_2, \dots, B_n$ là một hệ đầy đủ thì với mỗi biến cố $A$, ta có:

$$P(A) = \sum_{i = 1}^n P(B_i) \cdot P(A | B_i)$$

Công thức Bayes

Công thức tổng quát

Nếu $B_1, B_2, \dots, B_n$ là một hệ đầy đủ các biến cố và $A$ là một biến cố với $P(A) > 0$ thì với mỗi $k = 1, 2, \dots, n$:

$$P(B_k | A) = \dfrac{P(B_k) \cdot P(A | B_k)}{\displaystyle \sum_{i = 1}^n P(B_i) \cdot P(A | B_i)}$$

Chứng minh

Theo quy tắc nhân:

• $P(A) \cdot P(B_k | A) = P(A B_k)$
• $P(B_k) \cdot P(A | B_k) = P(A B_k)$

Như vậy: $P(A) \cdot P(B_k | A)$ = $P(B_k) \cdot P(A | B_k) \Rightarrow P(B_k | A) = \dfrac{P(B_k) \cdot P(A | B_k)}{P(A)}$.

Mặt khác: $P(A) = \displaystyle \sum_{i = 1}^n P(B_i) \cdot P(A | B_i)$.

Thay vào mẫu số, ta có điều phải chứng minh:

$$P(B_k | A) = \dfrac{P(B_k) \cdot P(A | B_k)}{\displaystyle \sum_{i = 1}^n P(B_i) \cdot P(A | B_i)}$$