Một số thứ liên quan đến bài thi giữa kỳ

Quy ước/Ký hiệu cho bài viết này

• Tổng (nếu chuỗi hội tụ đến $S$): $S = \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$.
• Tổng riêng: $S_n = \displaystyle \sum_{k = 1}^n a_k$.
• Phần dư: $R_n = S - S_n = \displaystyle \sum_{k = n + 1}^\infty a_k = a_{n + 1} + a_{n + 2} + \cdots$

Định lý: Ước tính phần dư cho tiêu chuẩn tích phân

Phát biểu: $f(x) = a_k$, trong đó $f$ là một hàm số liên tục, dương và nghịch biến $\forall \; x \ge n$ và chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ hội tụ đến giá trị $S$.

Kết luận: $\boxed{\displaystyle \int_{n + 1}^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x \le R_n \le \displaystyle \int_{n}^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Định lý: Ước lượng tổng của chuỗi đan dấu

Phát biểu: Cho chuỗi đan dấu hội tụ có dạng: $S = \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n} \cdot a_n$. Tức chuỗi đan dấu này thỏa mãn hai điều kiện: $\begin{cases} a_{n + 1} \le a_n \; \forall \; n \le 1 \\ \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \end{cases}$

Kết luận: Khi đó, phần dư (sai số) khi xấp xỉ $S$ bằng tổng riêng $S_n$ thứ $n^{\text{th}}$ được ước lượng bởi: $\boxed{\left|S - S_n \right| \le a_{n + 1}}$.

Điều kiện cần của chuỗi hội tụ

Nếu chuỗi số $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ hội tụ thì $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0$.

Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy của chuỗi số

Chuỗi số $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ hội tụ khi và chỉ khi:

$\forall \; \varepsilon > 0, \exists \; N = N(\varepsilon), \forall \; n > N, \forall \; p \in \mathbb{Z}^+:$

$\boxed{| a_{n + 1} + a_{n + 2} + \cdots + a_{n + p} < \varepsilon}$.

Dấu hiệu so sánh cho sự hội tụ của chuỗi dương

Cho hai chuỗi dương $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ và $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty b_n$

Dấu hiệu so sánh 1

Giả sử rằng tồn tại một số $N$ sao cho: $0 \le a_n \le b_n \; \forall \; n \ge N$.

Khi đó:

• Nếu $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty b_n$ hội tụ thì $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ cũng hội tụ.
• Nếu $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ phân kỳ thì $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty b_n$ cũng phân kỳ.

Dấu hiệu so sánh 2

Giả sử tồn tại giới hạn: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} = k, 0 < k < +\infty$.

Khi đó hai chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ và $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty b_n$ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Chú ý:

• Nếu $a_n$ và $b_n$ là hai vô cùng bé tương đương khi $n \to \infty$ thì chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ và $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty b_n$ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
• Nếu $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} = 0$ và chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty b_n$ hội tụ thì chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ cũng hội tụ.
• Nếu $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} = +\infty$ và chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty b_n$ phân kỳ thì chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ cũng phân kỳ.

Dấu hiệu căn Cauchy

Cho chuỗi dương $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$.

Giả sử $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = C$.

Khi đó:

• $C < 1$: Chuỗi đó hội tụ.
• $C > 1$: Chuỗi đó phân kỳ.
• $C = 1$: Chưa kết luận được.

Dấu hiệu D'Alembert

Cho chuỗi dương $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$.

Giả sử $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = D$.

Khi đó:

• $D < 1$: Chuỗi đó hội tụ.
• $D > 1$: Chuỗi đó phân kỳ.
• $D = 1$: Chưa kết luận được.

Dấu hiệu Raabe

Cho chuỗi dương $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$.

Giả sử tồn tại giới hạn: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \left(1 - \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \right) = R$ hay $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \left(\dfrac{a_n}{a_{n + 1}} - 1 \right) = R$.

Khi đó:

• $R > 1$: Chuỗi đó hội tụ.
• $R < 1$: Chuỗi đó phân kỳ.

Dấu hiệu tích phân Cauchy

Giả sử ta có một chuỗi số dương dạng $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n = \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty f(n)$.

Trong đó $f(n)$ là giá trị tại $x = n$ của một hàm $f(x)$ xác định với $x \ge 1$, liên tục và đơn điệu giảm.

Đặt $L = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \int_1^x f(x) \, \mathrm{d}x$. Nếu:

• $L < +\infty$ thì chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ hội tụ.
• $L = +\infty$ thì chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ phân kỳ.

Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ

Chuỗi số $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty |a_n|$ hội tụ.

• Khi đó chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ cũng hội tụ.

Nếu chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ hội tụ nhưng chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty |a_n|$ phân kỳ thì chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ được gọi là bán hội tụ.

Dấu hiệu Leibniz

Chuỗi đan dấu $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n - 1} a_n$ hội tụ nếu: $\begin{cases} a_{n + 1} \le a_n \; \forall \; n \le 1 \\ \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \end{cases}$

Trong trường hợp này, $|r_n| \le a_{n + 1}$, trong đó $r_n = \displaystyle \sum_{k = n + 1}^\infty (-1)^{k - 1} a_k$, là phần dư thứ $n^{\text{th}}$ của chuỗi.

Dấu hiệu Abel

Chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n \cdot b_n$ hội tụ nếu:

1. Chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ hội tụ.
2. Dãy số $\{b_n\}_{n = 1}^\infty$ tạo thành một dãy đơn điệu và bị chặn.

Dấu hiệu Dirichlet

Chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n \cdot b_n$ hội tụ nếu:

1. Dãy tổng riêng $A_n = \displaystyle \sum_{k = 1}^n a_k$ của chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ bị chặn.
2. Dãy số $\{b_n\}_{n = 1}^\infty$ đơn điệu dần về $0$ khi $n \to \infty$ $\left( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \right)$.

Tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ đều

Chuỗi hàm $\displaystyle \sum_{k = 1}^\infty a_k(x)$ hội tụ đều trên tập $\mathbb{X}_0$ khi và chỉ khi:

$\forall \; \varepsilon > 0, \exists \; N = N(\varepsilon), \forall \; n > N, \forall \; p \in \mathbb{Z}^+$, ta có:

$|u_{n + 1}(x) + u_{n + 2}(x) + \cdots + u_{n + p}(x)| < \varepsilon \; \forall \; x \in \mathbb{X}_0$.

---

Dãy hàm $\{ f_n(x) \}_{n = 1}^\infty$ hội tụ đều trên tập $\mathbb{X}_0$ khi và chỉ khi:

$\forall \; \varepsilon > 0, \exists \; N = N(\varepsilon), \forall \; n > N, \forall \; p \in \mathbb{Z}^+$, ta có:

$|f_{n + p}(x) - f_n(x)| < \varepsilon \; \forall \; x \in \mathbb{X}_0$.

Dấu hiệu Weierstrass

Chuỗi hàm $\displaystyle \sum_{k = 1}^\infty a_k(x)$ hội tụ đều trên tập $\mathbb{X}_0$ nếu tồn tại một chuỗi dương hội tụ $\displaystyle \sum_{k = 1}^\infty c_k$ sao cho:

$|u_k(x)| \le c_k \; \forall \; x \in \mathbb{X}_0, k = 1, 2, 3, \dots$.

Dấu hiệu Abel

Chuỗi hàm $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n(x) \cdot b_n(x)$ hội tụ đều trên tập $\mathbb{X}_0$ nếu:

1. Chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n(x)$ hội tụ đều trên tập $\mathbb{X}_0$.
2. Dãy $\{ b_n(x) \}_{n = 1}^\infty$ đơn điệu với mỗi $x \in \mathbb{X}_0$ và bị chặn đều trên $\mathbb{X}_0$, tức là tồn tại hằng số $M > 0$ sao cho: $|b_n(x)| \le M \; \forall \; x \in \mathbb{X}_0, n = 1, 2, 3, \dots$.

Dấu hiệu Dirichlet

Chuỗi hàm $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n(x) \cdot b_n(x)$ hội tụ đều trên tập $\mathbb{X}_0$ nếu:

1. Dãy tổng riêng $\{ s_n(x) \}_{n = 1}^\infty$ của chuỗi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n(x)$ bị chặn đều trên $\mathbb{X}_0$, tức là tồn tại hằng số $M > 0$ sao cho:

$|s_n(x)| = |a_1(x) + a_2(x) + \cdots + a_n(x)| \le M, \forall \; x \in \mathbb{X}_0, n = 1, 2, 3, \dots$.

2. Dãy $\{ b_n(x) \}_{n = 1}^\infty$ đơn điệu với mỗi $x \in \mathbb{X}_0$ và hội tụ đều về $0$ khi $n \to \infty$ trên tập $\mathbb{X}_0$.

Dấu hiệu "limsup"

Dãy hàm $\{ f_n(x) \}_{n = 1}^\infty$ hội tụ đến hàm $f(x)$ khi $n \to \infty$ trên $\mathbb{X}_0$ là hội tụ đều trên tập đó khi và chỉ khi:

$\boxed{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sup_{\mathbb{X}_0} |f_n(x) - f(x)| = 0}$.

Công thức Cauchy - Hadamard

Cho chuỗi lũy thừa có dạng: $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n (x - a)^n$.

Bán kính hội tụ có thể được xác định theo công thức:

$\dfrac{1}{R} = \displaystyle \overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}$

Một số công thức khác để tính bán kính hội tụ

Cho chuỗi lũy thừa có dạng: $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n (x - a)^n$.

Bán kính hội tụ có thể được xác định theo công thức:

$R = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_n}{a_{n + 1}} \right|$ hay $R = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$

nếu các giới hạn ở vế phải tồn tại.

---

Chú ý

Nếu chuỗi lũy thừa không có dạng $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n(x - a)^n$ (có mũ $\ne n$) thì ta xét:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{u_{n + 1}(x)}{u_n(x)} \right| = D$

Khi đó:

• $D < 1$: Chuỗi lũy thừa hội tụ.
• $D > 1$: Chuỗi lũy thừa phân kỳ.

(Dựa vào điều kiện của $D < 1$ để xác định bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa)

Một số khai triển Taylor cơ bản

Biểu thức	Điều kiện của $x$	Khai triển rút gọn	Khai triển đầy đủ
$e^x$	$(-\infty; +\infty)$	$\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}$	$1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + \cdots$
$\sin x$	$(-\infty; +\infty)$	$\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}$	$x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots + \dfrac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n + 1} + \cdots$
$\cos x$	$(-\infty; +\infty)$	$\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$	$1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots + \dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} + \cdots$
$\ln(1 + x)$	$(-1; 1]$	$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \dfrac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n$	$x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots + \dfrac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n + \cdots$
$\dfrac{1}{1 + x}$	$(-1; 1)$	$\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty (-1)^{n}x^{n}$	$1 - x + x^2 - \cdots + (-1)^{n}x^{n} + \cdots$
$\dfrac{1}{1 - x}$	$(-1; 1)$	$\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty x^{n}$	$1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots$
$\dfrac{1}{1 + x^2}$	$(-1; 1)$	$\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty (-1)^{n}x^{2n}$	$1 - x^2 + x^4 - \cdots + (-1)^{n}x^{2n} + \cdots$

Biểu thức	Khai triển rút gọn	Khai triển đầy đủ
$(1 + x)^m \\ (-1; 1)$	$\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty \dfrac{m(m - 1) \cdots(m - n + 1)}{n!}x^n$	$1 + mx + \dfrac{m(m - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \dfrac{m(m - 1) \cdots (m - n - 1)}{n!} + \cdots$