Skip to main content

Đề cương giữa kỳ

  1. Định nghĩa cận trên đúng, cận dưới đúng của một tập hợp
  2. Định nghĩa giới hạn của một dãy số
  3. Định lý về các phép toán trên dãy số hội tụ
  4. Định nghĩa dãy cơ bản. Nguyên lý hội tụ Cauchy cho dãy số
  5. Định lý về sự hội tụ của dãy đơn điệu
  6. Định nghĩa giới hạn riêng, giới hạn trên, giới hạn dưới
  7. Định nghĩa giới hạn của hàm số
  8. Định lý về mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và giới hạn dãy số
  9. Tiêu chuẩn Cauchy cho giới hạn hàm số
  10. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, hàm số trên một tập hợp
  11. Định nghĩa và phân loại điểm gián đoạn
  12. Định lý về tính bị chặn và đạt cận trên đúng, cận dưới đúng của hàm liên tục trên một đoạn
  13. Định lý Bolzano-Cauchy thứ nhất và thứ hai
  14. Định nghĩa tính liên tục đều của hàm số. Định lý Cantor về tính liên tục đều

Chú ý: Chỉ cần phát biểu, không cần chứng minh.

Định nghĩa cận trên đúng, cận dưới đúng của một tập hợp​

  • Định nghĩa: Cho ∅≠X⊆R\emptyset \ne \mathbb{X} \subseteq \mathbb{R}. Nếu X\mathbb{X} bị chặn trên thì cận trên bé nhất của X\mathbb{X} được gọi là cận trên đúng của X\mathbb{X}.

    • Ký hiệu: sup⁡X\sup \mathbb{X}.

  • Định nghĩa: Cho ∅≠X⊆R\emptyset \ne \mathbb{X} \subseteq \mathbb{R}. Nếu X\mathbb{X} bị chặn dưới thì cận trên lớn nhất của X\mathbb{X} được gọi là cận dưới đúng của X\mathbb{X}.

    • Ký hiệu: inf⁡X\inf \mathbb{X}.

Định nghĩa giới hạn của một dãy số​

  • Dãy số (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} có giới hạn a∈Ra \in \mathbb{R} khi:

    ∀  ε>0:∣xn−a∣<ε  ∀  n≤n0\boxed{\forall \; \varepsilon > 0: |x_n - a| < \varepsilon \; \forall \; n \le n_0}

    • Ký hiệu: lim⁡n→∞xn=a∈R\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = a \in \mathbb{R}.

Định lý về các phép toán trên dãy số hội tụ​

  • Cho (xn)n(x_n)_n và (yn)n(y_n)_n hội tụ. Khi đó:
    1. (xn+yn)n(x_n + y_n)_n hội tụ và lim⁡n→∞(xn+yn)=lim⁡n→∞xn+lim⁡n→∞yn\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n.
    2. (xn−yn)n(x_n - y_n)_n hội tụ và lim⁡n→∞(xn−yn)=lim⁡n→∞xn−lim⁡n→∞yn\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n - \lim_{n \to \infty} y_n.
    3. (xn×yn)n(x_n \times y_n)_n hội tụ và lim⁡n→∞(xn×yn)=lim⁡n→∞xn×lim⁡n→∞yn\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x_n \times y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \times \lim_{n \to \infty} y_n.
    4. Nếu lim⁡n→∞yn≠0\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n \ne 0 thì(xnyn)n\left(\dfrac{x_n}{y_n}\right)_nhội tụ và lim⁡n→∞xnyn=lim⁡n→∞xnlim⁡n→∞yn\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{x_n}{y_n} = \dfrac{\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n}{\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n}.

Định nghĩa dãy cơ bản. Nguyên lý hội tụ Cauchy cho dãy số​

  • Định nghĩa: Dãy số (xn)n(x_n)_n được gọi là dãy Cauchy/dãy cơ bản nếu:

    ∀  ε>0,∃  n0=n0(ε)∈N\forall \; \varepsilon > 0, \exist \; n_0 = n_0(\varepsilon) \in \mathbb{N} sao cho:

    ∣xn−xm∣<ε  ∀  n,m≥n0|x_n - x_m| < \varepsilon \; \forall \; n, m \ge n_0

    hay ∣xn+p−xn∣<ε  ∀  n≥n0 vaˋ  p∈N,p≥1|x_{n + p} - x_n| < \varepsilon \; \forall \; n \ge n_0 \, \text{và} \; p \in \mathbb{N}, p \ge 1.

  • Nguyên lý Cauchy cho giới hạn của dãy số: Dãy số (xn)n(x_n)_n hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản.

Định lý về sự hội tụ của dãy đơn điệu​

  • Định lý:
    • Nếu dãy (xn)n(x_n)_n tăng và bị chặn trên thì (xn)n(x_n)_n hội tụ và lim⁡n→∞xn=sup⁡n≥1xn\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \sup_{n \ge 1} x_n.
    • Nếu dãy (xn)n(x_n)_n gỉam và bị chặn dưới thì (xn)n(x_n)_n hội tụ và lim⁡n→∞xn=inf⁡n≥1xn\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \inf_{n \ge 1} x_n.

Định nghĩa giới hạn riêng, giới hạn trên, giới hạn dưới​

  • Định nghĩa: Số thực aa được gọi là giới hạn riêng của (xn)n(x_n)_n nếu ∃  (xnk)k\exist \; (x_{n_k})_k là dãy con của (xn)n(x_n)_n sao cho lim⁡k→∞xnk=a\displaystyle \lim_{k \to \infty} x_{n_k} = a.

  • Định nghĩa: Cho (xn)n(x_n)_n bị chặn. Với mỗi n∈Nn \in \mathbb{N}, ta đặt:

    un=sup⁡{xn+1;xn+2;xn+3;… }=sup⁡k≥1xn+k\displaystyle u_n = \sup\{x_{n + 1}; x_{n + 2}; x_{n + 3}; \dots \} = \sup_{k \ge 1} x_{n + k} và

    vn=inf⁡{xn+1;xn+2;xn+3;… }=inf⁡k≥1xn+k\displaystyle v_n = \inf\{x_{n + 1}; x_{n + 2}; x_{n + 3}; \dots \} = \inf_{k \ge 1} x_{n + k}

  • Ta có: un≥un+1u_n \ge u_{n + 1} và vn≤vn+1  ∀  n≥1v_n \le v_{n + 1} \; \forall \; n \ge 1, tức là (un)n(u_n)_n là dãy giảm, (vn)n(v_n)_n là dãy tăng. Hơn nữa:

    v1≤vn≤un≤u1  ∀  n≥1v_1 \le v_n \le u_n \le u_1 \; \forall \; n \ge 1

    • Tức là dãy (un)n(u_n)_n và (vn)n(v_n)_n bị chặn, vậy nên tồn tại:
      • lim⁡n→∞un=inf⁡n≥1un=inf⁡n≥1(sup⁡k≥1xn+k)\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n = \inf_{n \ge 1} u_n = \inf_{n \ge 1} \left( \sup_{k \ge 1} x_{n + k} \right) và
      • lim⁡n→∞vn=sup⁡n≥1vn=sup⁡n≥1(inf⁡k≥1xn+k)\displaystyle \lim_{n \to \infty} v_n = \sup_{n \ge 1} v_n = \sup_{n \ge 1} \left( \inf_{k \ge 1} x_{n + k} \right)

  • Ký hiệu:

    • lim sup⁡n→∞xn=lim⁡n→∞‾xn=inf⁡n≥1(sup⁡k≥1xn+k)\displaystyle \limsup_{n \to \infty} x_n =\overline{\displaystyle \lim_{n \to \infty}} x_n = \inf_{n \ge 1} \left( \sup_{k \ge 1} x_{n + k} \right)
    • lim inf⁡n→∞xn=lim⁡n→∞‾xn=sup⁡n≥1(inf⁡k≥1xn+k)\displaystyle \liminf_{n \to \infty} x_n =\underline{\displaystyle \lim_{n \to \infty}} x_n = \sup_{n \ge 1} \left( \inf_{k \ge 1} x_{n + k} \right)

Định nghĩa giới hạn của hàm số​

  • Định nghĩa: Cho hàm số ff xác định trên một khoảng X\mathbb{X} chứa điểm aa, ff có thể không xác định tại aa. Hàm số ff có giới hạn A∈RA \in \mathbb{R} khi x→ax \to a nếu:

    ∀  ε>0,∃  δ=δ(ε)>0\forall \; \varepsilon > 0, \exist \; \delta = \delta(\varepsilon) > 0 sao cho: ∣f(x)−A∣<ε  ∀  x∈X|f(x) - A| < \varepsilon \; \forall \; x \in \mathbb{X} thỏa mãn 0<∣x−a∣<δ0 < |x - a| < \delta.

  • Ký hiệu: lim⁡x→a=A∈R\displaystyle \lim_{x \to a} = A \in \mathbb{R}.

Định lý về mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và giới hạn dãy số​

  • Định lý: Cho f(x)f(x) xác định trên X\mathbb{X}, chứa điểm aa, ff có thể không xác định tại aa.

    Khi đó, hàm số ff có giới hạn A∈RA \in \mathbb{R} khi x→ax \to a ⇔∀  (xn)n⊂X\Leftrightarrow \forall \; (x_n)_n \subset \mathbb{X} thỏa mãn xn≠ax_n \ne a và lim⁡n→∞xn=a\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = a.

  • Ký hiệu: lim⁡n→∞f(xn)=A\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x_n) = A.

Tiêu chuẩn Cauchy cho giới hạn hàm số​

  • Cho hàm số ff xác định trên X\mathbb{X}, có thể trừ điểm a∈Xa \in \mathbb{X}. Khi đó, tồn tại giới hạn khi x→a:lim⁡x→af(x)=A∈Rx \to a: \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = A \in \mathbb{R} khi và chỉ khi:

    ∀  ε>0,∃  δ=δ(ε)>0\forall \; \varepsilon > 0, \exist \; \delta = \delta(\varepsilon) > 0 sao cho:

    ∣f(x)−f(x′)∣<ε  ∀  x,x′∈X|f(x) - f(x')| < \varepsilon \; \forall \; x, x' \in \mathbb{X} thỏa mãn: {0<∣x−a∣<δ0<∣x′−a∣<δ\begin{cases} 0 < |x - a| < \delta \\ 0 < |x' - a| < \delta \end{cases}.

Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, hàm số trên một tập hợp​

  • Định nghĩa: Cho hàm số ff xác định trên khoảng X\mathbb{X}. Ta nói hàm số ff liên tục tại a∈Ra \in \mathbb{R} nếu:

    lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a).

    tức là ∀  ε>0,∃  δ=δ(ε)>0\forall \; \varepsilon > 0, \exist \; \delta = \delta(\varepsilon) > 0 sao cho ∣f(x)−f(a)∣<ε  ∀  x∈X,∣x−a∣<δ|f(x) - f(a)| < \varepsilon \; \forall \; x \in \mathbb{X}, |x - a| < \delta.

  • Ta nói ff liên tục trên khoảng X\mathbb{X} nếu ff liên tục ∀  a∈X\forall \; a \in \mathbb{X}.

Định nghĩa và phân loại điểm gián đoạn​

  • Cho hàm số ff có tập xác định là D(f)\mathscr{D}(f).

    • Điểm x0∈D(f)x_0 \in \mathscr{D}(f) được gọi là điểm gián đoạn loại I nếu lim⁡x→x0+f(x)\displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x) và lim⁡x→x0−f(x)\displaystyle \lim_{x \to x_0^-} f(x) tồn tại hữu hạn.

      Nếu lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0−f(x)≠lim⁡x→x0f(x)\displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) \ne \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) thì x0x_0 được gọi là điểm gián đoạn bỏ được.

    • Điểm x0∈D(f)x_0 \in \mathscr{D}(f) được gọi là điểm gián đoạn loại II nếu lim⁡x→x0+f(x)\displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x) hoặc lim⁡x→x0−f(x)\displaystyle \lim_{x \to x_0^-} f(x) không tồn tại hay bằng ∞\infty.

Định lý về tính bị chặn và đạt cận trên đúng, cận dưới đúng của hàm liên tục trên một đoạn​

  • Nếu hàm số ff liên tục trên đoạn [a;b][a; b], thì:

    • ff bị chặn trên [a;b][a; b].

    • ff đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên [a;b][a; b], tức là ∃  c,d∈[a;b]\exist \; c, d \in [a; b] sao cho:

      {f(c)=sup⁡x∈[a;b]f(x)f(d)=inf⁡x∈[a;b]f(x)\begin{cases} \displaystyle f(c) = \sup_{x \in [a; b]} f(x) \\ \displaystyle f(d) = \inf_{x \in [a; b]} f(x) \end{cases}.

Định lý Bolzano-Cauchy thứ nhất và thứ hai​

  • Định lý Bolzano-Cauchy thứ nhất:

    Nếu hàm số ff liên tục trên đoạn [a;b][a; b] sao cho f(a)×f(b)<0f(a) \times f(b) < 0 thì ∃  c∈(a;b)\exist \; c \in (a; b) sao cho f(c)=0.f(c) = 0.

  • Định lý Bolzano-Cauchy thứ hai:

    Cho hàm số ff liên tục trên đoạn [a;b][a; b]. Khi đó ff nhận mọi giá trị trung gian giữa f(a)f(a) và f(b)f(b). Tức là ∀  λ\forall \; \lambda nằm giữa f(a)f(a) và f(b)f(b), ∃  c∈[a;b]\exist \; c \in [a; b] sao cho f(c)=λf(c) = \lambda.

Định nghĩa tính liên tục đều của hàm số. Định lý Cantor về tính liên tục đều​

  • Định nghĩa: Hàm số ff được gọi là liên tục đều trên khoảng X\mathbb{X} nếu ∀  ε>0\forall \; \varepsilon > 0 cho trước,
    ∃  δ=δ(ε)>0\exist \; \delta = \delta(\varepsilon) > 0 sao cho:

    ∣f(x)−f(x′)∣<ε  ∀  x,x′∈X,∣x−x′∣<δ|f(x) - f(x')| < \varepsilon \; \forall \; x, x' \in \mathbb{X}, |x - x'| < \delta.

  • Định lý Cantor về tính liên tục đều:

    Nếu hàm số ff liên tục trên [a;b][a; b] thì hàm số ff liên tục đều trên [a;b][a; b].