Một số thứ liên quan đến bài thi cuối kỳ

Hệ phương trình tuyến tính

Phương pháp khử Gauss / Gauss - Jordan

• Tự xem trong sách giáo trình.

Công thức nghiệm Crammer

Cách tính ma trận khả nghịch bằng định thức và phần bù đại số

• Cho $A$ là một ma trận khả nghịch. Khi đó ma trận nghịch đảo của $A$ xác định như sau:

  $$A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}(C_{ij})^t = \dfrac{1}{|A|}(C_{ji}) = \dfrac{1}{|A|} \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \\ \end{bmatrix}$$

  trong đó $C_{ij}$ là phần bù đại số của $a_{ij}$.

LƯU Ý

Phần ma trận được sử dụng trong công thức ma trận khả nghịch trên đó là MA TRẬN CHUYỂN VỊ. Hãy đọc kỹ phần trên để không nhầm lẫn trong quá trình tính toán!

$$P = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \\ \end{bmatrix} \Longrightarrow P^t = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \\ \end{bmatrix}$$

*$P^t$ là ký hiệu của ma trận chuyển vị.

---

Công thức Crammer

• Nếu $\det A \ne 0$ thì hệ phương trình tuyến tính $n$ phương trình với $n$ ẩn $Ax = b$ có nghiệm duy nhất:

  $$x_j = \dfrac{\det A_j}{\det A}, 1 \le j \le n$$

  trong đó $A_j$ là ma trận thu được từ $A$ bằng cách thay cột $j$ bằng cột $b$.

Ma trận và định thức

Phép cộng trừ hai ma trận CÙNG CỠ

$$(a_{ij})_{m \times n} \pm (b_{ij})_{m \times n} = (a_{ij} \pm b_{ij})_{m \times n}$$

Phép nhân một số với một ma trận

$$c \cdot (a_{ij})_{m \times n} = (c \cdot a_{ij})_{m \times n}$$

Phép nhân hai ma trận

• Với $A = (a_{ij})_{m \times n}$ và $B = (b_{jk})_{n \times p}$, ma trận $A \times B = (c_{ik})_{m \times p}$ là một ma trận với:

  $$c_{ik} = ``i^{\text{th}} \text{ row of } A" \times ``k^{\text{th}} \text{ column of } B" = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + \cdots + a_{in}b_{nk}$$ $$A \times B = \begin{bmatrix} & \vdots & & \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ & \vdots & & \end{bmatrix} \begin{bmatrix} & b_{1k} & \\ \cdots & b_{2k} & \cdots \\ & \vdots & \\ & b_{nk} & \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & \vdots & \\ \cdots & c_{ik} & \cdots \\ & \vdots & \end{bmatrix}$$

LƯU Ý

• Phép nhân hai ma trận KHÔNG có tính chất giao hoán!
  • Cho hai ma trận $A$ và $B$: $AB \ne BA$.

Định thức

Phần bù đại số

• Cho ma trận vuông $A = (a_{ij})_{n \times n}$ với $n \ge 2$.
• Định thức con của phần tử $a_{ij}$ là định thức của ma trận $(n - 1) \times (n - 1)$ thu được từ $A$ bằng cách bỏ đi hàng $i$ và cột $j$.
• Phần bù đại số $C_{ij}$ của phần tử $a_{ij}$ được định nghĩa bởi:
  • $C_{ij} = (-1)^{i + j}M_{ij}$.
  • Dấu của $(-1)^{i + j}$ trong ma trận thay đổi luân phiên, ví dụ trong các trường hợp sau:

$$\begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{bmatrix}$$

Định thức

• Định thức của một ma trận vuông $A = (a_{ij})_{n \times n}$, ký hiệu bởi $\det A$ hay:

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

được định nghĩa một cách truy hồi như sau:

1. Với $n = 1$: $\det(A) = a_{11}$.
2. với $n = 2$: $\det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$.
3. Với $n \ge 2$: $\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots + a_{1n}C_{1n}$.

Với $C_{ij}$ được định nghĩa như trên.

Định thức của ma trận đường chéo

• Định thức của một ma trận đường chéo bằng tích các phần tử trên đường chéo.

$$\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \prod_{i = 1}^{n} a_{ii} = a_{11}a_{22} \dots a_{nn}$$

• Đặc biệt: Ma trận đơn vị $I_n$ có định thức bằng 1.

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \dots 1 = 1$$

Định thức với ma trận cỡ 3

$$\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} \\ &= a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\ &= a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \\ &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} \end{align*}$$

Định thức với ma trận cỡ 3 bằng Sơ đồ Sarrus

info

TO-DO

Định thức bằng 0

• Ma trận vuông thỏa mãn một trong ba điều kiện sau đây thì có định thức bằng $0$:
  1. Có một hàng gồm toàn các số $0$.
  2. Có hai hàng bằng nhau.
  3. Có một hàng bằng bội của một hàng khác.

Các tính chất của định thức

1. Nếu nhân một hàng của ma trận $A$ với một hằng số $c$ thì giá trị định thức sẽ gắp $n$ lần.
2. Nếu hoán đổi hai hàng bất kỳ cho nhau thì định thức đổi dấu.
3. Nếu cộng vào một hàng bằng $c$ lần hàng khác thì giá trị định thức không thay đổi.

Các mệnh đề và hệ quả từ định thức

1. $\det(cA) = c^n \det(A)$.
2. $\det(A) = \det(A^t)$.
3. Từ tính chất "2". các kết quả về định thức phát biểu cho hàng cũng đúng nếu phát biểu lại cho cột.
4. $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$.
5. Nếu ma trận $A$ khả nghịch thì: $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)}$.

$\displaystyle \sum_{i = 1}^{+ \infty}f(x) + \lim_{n \to \infty} f(n) \approx 3.14 \times \dfrac{1}{\pi}$