Một số thứ liên quan đến bài thi giữa kỳ

Câu 1. Định nghĩa tích phân bội (2 hoặc 3)

Cho hàm số $f(x, y)$ xác định trên hình chữ nhật đóng $D = [a, b] \times [c, d]$ .
Chia $D$ một cách tùy ý thành $k$ hình chữ nhật $S_1, S_2, \dots, S_k$ theo phân hoạch $P$ .
Phân hoạch P chính là bộ các điểm chia $a = x_0 < x_1 < \dots < x_m = b$ và $c = y_0 < y_1 < \dots < y_p = d$ tạo thành một lưới chia $D$ thành các hình chữ nhật con $S_i$ (với $k = m \times p$ ).
Gọi $d(P)$ là độ dài đường chéo lớn nhất trong các hình chữ nhật $S_i$ .
Chọn tùy ý các điểm $\xi_i \in S_i$ $(i = 1, 2, \dots, k)$ . Khi đó ta lập tổng tích phân:

\sigma(P, \xi)= \sum_{i = 1}^k f(\xi_i) \cdot A(S_i)

trong đó $A(S_i)$ là diện tích hình chữ nhật $S_i$ .

Nếu khi $k \to \infty$ sao cho $d(P) \to 0$ mà tổng tích phân tiến tới một giá trị hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền $D$ và cách chọn tùy ý điểm $\xi_i$ thì giá trị ấy gọi là Tích phân bội hai của $f$ trên $D$ .
Ký hiệu: $\displaystyle \iint_{[a, b] \times[c, d]} f(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ .

Cho hàm số $f(x, y, z)$ xác định trong một khối hộp chữ nhật đóng, bị chặn $E = [a, b] \times [c, d] \times [p, q]$ .
Chia miền $E$ một cách tùy ý thành $k$ hình hộp con $S_1, S_2, \dots, S_k$ theo phân hoạch $P$ . Phân hoạch $P$ chính là bộ các điểm chia $a = x_0 < x_1 < \dots < x_m = b$ , $c = y_0 < y_1 < \dots < y_n = d$ , $p = z_0 < z_1 < \dots < z_t = q$ tạo thành một lưới không gian, chia khối hộp $E$ thành các khối hộp con $S_i$ (số khối hộp con là $k = m \times n \times t$ ).
Gọi $d(P)$ là độ dài đường chéo lớn nhất trong các hình hộp con $S_i$ .
Chọn tùy ý các điểm $\xi_i \in S_i$ $(i = 1, 2, \dots, k)$ . Khi đó ta lập tổng tích phân:

\sigma(P, \xi) = \sum_{i=1}^k f(\xi_i) \cdot V(S_i)

trong đó $V(S_i)$ là thể tích hình hộp $S_i$ .

Nếu khi $k \to \infty$ sao cho $d(P) \to 0$ mà tổng tích phân tiến tới một giá trị hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền $E$ và cách chọn tùy ý điểm $\xi_i$ , thì giá trị ấy gọi là Tích phân bội ba.
Ký hiệu: $\displaystyle \iiint_{[a, b] \times[c, d] \times [p, q]} f(x, y, z) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$ .

Giả sử $A \subset \mathbb{R}^n$ và $B \subset \mathbb{R}^m$ là các hình hộp đóng và $f: A \times B \to \mathbb{R}$ là hàm khả tích. Hơn nữa giả sử rằng hàm $g_x : B \to \mathbb{R}$ xác định đối với mỗi $x \in A$ bởi đẳng thức:

g_x(y) = f(x, y)

I_*(x) = \int_{*B} g_x \, \mathrm{d}y = \int_{*B} f(x, y) \, \mathrm{d}y

I^*(x) = \int^*_B g_x \, \mathrm{d}y = \int^*_B f(x, y) \, \mathrm{d}y

\int_{A \times B} f \, \mathrm{d}V = \int_A I_* \, \mathrm{d}x = \int_A \left( \int_{*B} f(x, y) \, \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x

\int_{A \times B} f \, \mathrm{d}V = \int_A I^* \, \mathrm{d}x = \int_A \left( \int^*_B f(x, y) \, \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x

Cho hàm số $f(x, y)$ xác định trên một cung phẳng $L = \overset{\frown}{AB}$ có độ dài hữu hạn.
Chia cung $L$ thành $n$ cung nhỏ, gọi tên và độ dài của chúng lần lượt là $\Delta s_1, \dots, \Delta s_i, \dots, \Delta s_n$ .
Trên mỗi cung $\Delta s_i$ , lấy một điểm $M_i$ bất kỳ.
Đại lượng $\displaystyle d(T_n) = \max_{1 \le i \le n} \{ \Delta s_i \}$ được gọi là đường kính của phân hoạch $T_n$ .
Giới hạn nếu có của tổng:

\lim_{d(T_n) \to 0} \sum_{i = 1}^n f(M_i) \cdot \Delta s_i

được gọi là Tích phân đường loại I của hàm $f(x, y)$ trên đường cong $L$ và ký hiệu:

\int_L f(x, y) \, \mathrm{d}s = \lim_{d(T_n) \to 0} \sum_{i = 1}^n f(M_i) \cdot \Delta s_i

S = \iint_{D} \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y

Khối trụ $V$ $V$ được giới hạn:
1. Phía trên bởi mặt cong có phương trình $z = f(x, y)$ , trong đó $f(x, y)$ là hàm liên tục;
2. Phía dưới bởi mặt phẳng tọa độ $z = 0$ ;
3. Mặt xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục $Oz$ .

$D$ là hình chiếu của $V$ xuống mặt phẳng $Oxy$ . Khi đó thể tích $V$ của khối trụ được tính bằng công thức:

V = \iint_{D} f(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y

Thể tích $V$ của miền đo được $B$ trong không gian $Oxyz$ được tính bằng công thức:

V = \iiint_B \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z

Nếu $L = \overset{\frown}{AB}$ là "đường cong vật chất" và $\rho(x, y, z)$ là hàm mật độ khối lượng, khối lượng $m$ của vật thể dọc theo cung $L$ được tính bằng:

m = \displaystyle \int_L \rho(x, y, z) \, \mathrm{d}s

x_0 = \frac{1}{m} \int_L x \cdot \rho(x, y, z) \, \mathrm{d}s

y_0 = \frac{1}{m} \int_L y \cdot \rho(x, y, z) \, \mathrm{d}s

z_0 = \frac{1}{m} \int_L z \cdot \rho(x, y, z) \, \mathrm{d}s